Nueva teoría sobre la naturaleza de los números

Una nueva teoría ha revolucionado la comunidad de los matemáticos. Desarrollado por un equipo de la Universidad de Emory liderado por Ken Ono, el trabajo ofrece por primera vez una fórmula finita que permite calcular las particiones de cualquier número. Este problema, que consiste en determinar cuantas secuencias diferentes de enteros positivos se pueden sumar para formar un numero determinado ha intrigado históricamente a los matemáticos, pero hasta ahora nadie había sido capaz de encontrar este patrón.

Nuevo récord de π: calculados 2.000 billones de decimales

Parece que los récords relacionados con el buceo en las profundidades de π en busca de más y más decimales se están calentando: un investigador de Yahoo llamado Nicholas Sze ha calculado ni más ni menos que 2.000 billones de decimales; el récord anterior –de hace unas cuantas semanas– eran unos meros 5 billones de decimales, así que la nueva cifra arrasa y destroza el récord anterior sin piedad.
Pero claro: el récord de 5 billones fue conseguido con un ordenador relativamente casero, que tardó 90 días en procesar los datos. Sze ha tirado de poderío y ha usado durante 23 días ni más ni menos que un millar de los ordenadores de Yahoo para completar el cálculo.
La fórmula empleada es una serie infinita distinta de la que habitualmente se ha venido utilizando (conocida como algoritmo de los hermanos Chudnovsky) que es mas adaptable al trabajo de computación en paralelo que podían realizar las máquinas de Yahoo. Para completar la tarea, dividida en tareas más pequeñitas y sencillas, se usó MapReduce, que curiosamente es una invención de Google.
[Por cierto: respecto a estos genios del mundo de las matemáticas que son los hermanos Chudnovsky recomiendo encarecidamente la lectura de The Mountains of Pi, un artículo de Richard Preston para The New Yorker que data de 1992 y que cuenta su increíble historia personal en la construcción de supercomputadoras caseras para bucear en π, muy, muy al estilo de Pi (la película). Véase también Utilizando el algoritmo Chudnovsky y Visual Basic para calcular los catorce primeros dígitos decimales de Pi sin despeinarse, gran anotación al respecto.]
Aquello de que los informáticos tienen la extraña manía de calcular billones y billones de decimales del número pi nunca fue más cierto: el ejercicio de Sze ha sido simplemente una mera demostración de fuerza aprovechando que querían «calcular el rendimiento de diversos servidores». Me imagino a los ingenieros de Google afilando sus procesadores para batir el récord dentro de unas pocas semanas.
El dos mil billonésimo decimal de π es un 0, por cierto.

Fuente: http://www.microsiervos.com/archivo/tecnologia/nuevo-record-pi-2000-billones-decimales.html

Guionista de Futurama creó y comprobó un teorema para el último episodio de la serie

Futurama sigue siendo una de las series favoritas de todos los geeks y, como bien dijo Pepe hace unas semanas, mantiene el espíritu nerd, creatividad y rebeldía que una vez (hace mucho) supo tener Los Simpson. Esto se debe, en parte, a que los guionistas de la serie de ciencia ficción son unos completos nerds, pero con el último episodio han llevado esto a un nuevo nivel, pues Ken Keeler (quien además de ser guionista tiene un doctorado en Matemática) escribió y comprobó un nuevo teorema exclusivamente para el capítulo.

En el episodio número 10 de la sexta temporada, "The prisioner of Benda", el Profesor y Amy utilizan un dispositivo para intercambiar cerebros pero descubren que los mismos dos cuerpos no pueden hacer el intercambio dos veces entre sí, por lo que deben encontrar la manera de comprobar que, con las suficientes personas participando del intercambio cada uno terminará (eventualmente) con su propio cerebro. Bien podrían haber puesto un par de números, letras y paréntesis prácticamente al azar, como se suele hacer en la televisión y en el cine, pero no.
Ken Keller encontró la respuesta al problema del Profesor y Amy él mismo, mediante la Teoría de grupos. El guionista había anunciado su logro en una entrevista a la Sociedad Americana de Física, pero recién ahora es posible ver el teorema. Señores, los guionistas de Futurama se han pasado y a pesar de haber bajado la audiencia del último episodio se han ganado unos nuevos puntos para pasar a la historia como una de las mejores series que haya existido.

Fuente: http://alt1040.com/2010/08/guionista-de-futurama-creo-y-comprobo-un-teorema-para-el-ultimo-episodio-de-la-serie

Olimpíadas del Río Uruguay 2010

Los días 8 y 9 de abril se realizo la II Olimpíada Matemática en nuestra ciudad, Paso de los Libres. Este evento reune a delegaciones de alumnos y profesores de varias ciudades el país, y de países vecinos; todos ellos participan, durante una jornada, de actividades matemáticas; este año se realizaron pruebas escritas, discuciones matemáticas y odiseas.
Aprovechando la ocasión, también se realizó una residencia para alumnos del Profesorado de Matemática de nuestra ciudad y para profesores, que fue dictada por un Licenciado en Matemática, jefe del área Práctica de Ciencias Exactas de la UBA.

Con Jesús, mi amigo y compañero de carrera, tuvimos el honor de participar en la parte técnica del evento (fotografía, filmación, edición de video, confección de mapas, etc).
Nuestra participación fue "ad honorem", pero logramos obtener una experiencia muy enriquecedora. El segundo día se nos sumó Juan, quién hizo una trabajo enorme al estar en la parte de filmación y proyección en tiempo real, trayendo una buena parte de su propio equipamento, y todo de forma colaborativa, sin pedir nada a cambio. Desde este espacio, quiero agradecerle, porque su participación fue importantísima, Gracias Juan!!

Bueno, nos mas discurso. Pasemos a las fotos y los videos. Que lo disfruten!

Los fractales del conjunto de Mandelbrot

Cuando vemos un árbol, una nube o una montaña, no tenemos dudas que ese objeto que tenemos enfrente es -efectivamente- un árbol, una nube o una montaña. Es extraño que esto suceda, por que se trata de objetos que nunca se repiten. Por más que busquemos, jamás veremos dos que sean exactamente  iguales. Sin embargo, tienen determinadas propiedades que nos permiten reconocerlos como tales. El conjunto de esas propiedades comunes coincide con los de unos objetos matemáticos descubiertos hace más de 100 años, que se llaman, en general, fractales. El exponente más conocido de los fractales es el conjunto de Mandelbrot.

Estos objetos casi siempre pueden construirse a partir de una figura inicial o “semilla”

La historia de los fractales comienza en 1872, con la aparición de la función de Weierstrass. En esa época no existía el concepto de fractal, pero su grafo contiene, sin dudas, características que lo convierten en miembro de ese club. Posteriormente se descubrieron objetos con propiedades similares, casi siempre como curiosidades matemáticas pero con una definición más estricta desde el punto de vista geométrico.

Estos objetos casi siempre pueden construirse a partir de una figura inicial o “semilla”, a la que se aplican una serie de transformaciones geométricas sencillas. Cuando el numero de pasos es lo suficientemente alto, la figura obtenida es lo que hoy llamamos un fractal. En 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass, a la que llamo “el copo de nieve de Koch”. Años más tarde, en 1915, Waclaw Sierpinski construyó su famoso triángulo y, un año después, su alfombra. Pero todos esos objetos empalidecen a la par de los descubiertos en 1975 por el matemático Benoît Mandelbrot.

Una serie de transformaciones geométricas sencillas producen esto.

Mandelbrot se inspiró en los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia, que en los años 1920 ya habían logrado construir fractales sumamente complejos a partir de la aplicación reiterada de funciones holomorfas. No vamos a mostrarte aquí las ecuaciones, pero no son tan complejas como los gráficos pueden hacer presuponer.

Un fractal debe poseer detalles apreciables a cualquier escala de observación.

En la actualidad, se dice que un objeto matemático es un fractal si cumple con las siguientes condiciones: ser lo suficientemente irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales, poseer detalles apreciables a cualquier escala de observación, ser autosimilar (sus partes se parecen al todo), poseer una dimensión de Hausdorff-Besicovitch mayor que su dimensión topológica y poder ser definido mediante un simple algoritmo recursivo.

Las imágenes en 3D son increíbles.

No nos basta con cumplir solo una o algunas de estas estas características para que un objeto sea considerado un fractal. La recta, por ejemplo,  no se considera un fractal, ya que a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de las características enumeradas. Actualmente, los ordenadores y su potencia de cálculo han hecho posible la generación de imágenes fractales con prácticamente cualquier nivel de detalle y en tiempos relativamente cortos.

¿Brócoli? No. ¡Un fractal!

Lejos han quedado los tiempos en que Fatou o Julia se quemaban las pestañas frente a un papel intentando dibujar sus fractales. Un algoritmo (en pseudocódigo) como el siguiente permite crear  fractales del conjunto de Mandelbrot en dos dimensiones:

For each pixel on the screen do:
{
  x0 = x co-ordinate of pixel
  y0 = y co-ordinate of pixel
  x = 0
  y = 0

  iteration = 0
  max_iteration = 1000

  while ( x*x + y*y <= (2*2)  AND  iteration < max_iteration )
  {
    xtemp = x*x - y*y + x0
    y = 2*x*y + y0
    x = xtemp
    iteration = iteration + 1
  }

  if ( iteration == max_iteration )
  then
    color = black
  else
    color = iteration
  plot(x0,y0,color)
}

Cualquiera que haya escrito alguna vez un simple programa en BASIC o C puede adaptar este algoritmo en minutos para dibujar sus propios fractales. Pero en tiempos más recientes, algunos programadores han comenzado a generar estas figuras utilizando tres dimensiones. El algoritmo es mucho más complicado y escapa al nivel de este pequeño artículo, pero las imágenes obtenidas son de una belleza innegable.

Otro ejemplo de un fractal tridimensional.

Como puedes ver, la matemática no tiene porque ser fría o aburrida. Tíos como Benoît Mandelbrot o  Gaston Julia han convertido los no siempre queridos números en objetos tan ricos y complejos que algunos hasta los consideran obras de arte. ¿Qué te parece?

Enlaces

Más fractales en 3D en Skytopia

Fuente: http://www.neoteo.com/los-fractales-del-conjunto-de-mandelbrot.neo 

La paradoja del cumpleaños

Imagina que te encuentras en una fiesta, rodeado de una o dos docenas de amigos. ¿Cual es la probabilidad de que un par de ellos cumpla años el mismo día? Aunque parezca increíble, es posible demostrar matemáticamente que si el numero de invitados es de 23 personas, la probabilidad supera el 50%. Y si en tu fiesta hay más de 60 invitados, puedes apostar que dos de ellas cumplen años el mismo día con el 99% de posibilidades de ganar. Bienvenidos a la paradoja del cumpleaños


Nuevamente estamos ante una de esas contradicciones lógicas, que si bien desde el punto de vista estrictamente matemático no merecen el nombre de “paradoja”, contradicen lo suficiente el sentido común como para que mucha gente las considere como tales. Algo parecido a lo que sucede con la Paradoja de la banda elástica, que analizamos hace algunas semanas. En este caso, además de dejarte pensando un rato sobre algo que seguramente no te habías planteado nunca, conocerás un nuevo truco para convertirte (o no) en el tío más guay de la fiesta.


La (mal) llamada Paradoja del cumpleaños establece que si en una reunión se encuentran 23 personas, la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día es del 50,7%. El porcentaje parece, a primera vista, demasiado elevado. Uno tiende a razonar de la siguiente manera: “A ver. El año tiene unos 365 días, y si aquí dentro hay solo 23 personas, pues la probabilidad de que dos de nosotros hayamos nacido el mismo día debe ser de 23/365*100 = 6,3%” ¡Error! ¿En qué nos equivocamos cuando razonamos de esa forma? En que en realidad estamos calculando cual es la probabilidad de que alguno de los presentes cumpla años un día en particular, algo que nada tiene que ver con el problema. Para calcular realmente la probabilidad de dos personas del grupo cumplan años el mismo día hay que considerar parejas y no personas sueltas. Veamos cómo es la forma correcta de hacerlo.

La clave para entender problema es concentrarse en el cálculo de la probabilidad que tiene una pareja de cumplir años el mismo día, sin importar cuáles sean los integrantes de la pareja ni el día en particular. Supongamos que en nuestra fiesta se encuentran 23 personas.Se pueden formar 23 x 22 = 253 parejas diferentes entre ellas. Si no te has dado cuenta por qué calculamos ese número multiplicando 23 por 22, puedes pensar que para el primer integrante de la pareja hay 23 candidatos posibles, mientras que para el segundo, solo hay 22, pues uno de ellos ya forma parte de la misma. Ahora sí, calculemos la probabilidad aproximada de que en una habitación de n personas, al menos dos cumplan años el mismo día, desechando los años bisiestos y asumiendo que cualquiera de los días del año tiene la misma tasa de nacimientos que el otro. Comenzamos calculando primero la probabilidad de que “n” cumpleaños sean diferentes. Esta probabilidad es dada por la siguiente ecuación:

Lo que representan esa serie de fracciones es el hecho de que la segunda persona no puede tener el mismo cumpleaños que el primero (364/365), la tercera persona no puede tener el mismo cumpleaños que las dos primeras (363/365), y así sucesivamente. Podemos simplificar mucho esa fórmula si utilizamos los llamados “números factoriales”. El “factorial” de un numero (“n!”) se obtiene multiplicando entre sí a ese número y todos los enteros menores a él. El factorial de 5, por ejemplo, se calcula haciendo 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Si utilizamos números factoriales, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

En la que “p” es la probabilidad de que dos personas no cumplan años el mismo día. Para encontrar el resultado que estamos buscando -la probabilidad que al menos dos personas tengan el mismo día de cumpleaños- debemos hacer 1-p. Si la ecuación es lo suficientemente complicada como para que no de te den siquiera ganas de intentar resolverla, no te preocupes: lo hemos hecho por ti. Para n = 23 se obtiene un valor de0,507, o lo que es lo mismo, una probabilidad de alrededor de 50,7%.

La próxima vez que vayas a una fiesta en la que hayan otros 20 o 30 invitados puedes intentar averiguar si dos de ellos cumplen años el mismo día. Si son más de 50, hasta puedes tomar el micrófono y lanzar una apuesta sobre ello, con una gran probabilidad de ganar y volver a casa con la chica más bonita de la fiesta. Y si falla, puedes entretenerte calculando las posibilidades que había de que una catástrofe así ocurriese. ¿Te animas?

Fuente: http://www.neoteo.com/la-paradoja-del-cumpleanos.neo

El dilema del prisionero

La Teoría de Juegos es una rama de las matemáticas que estudia el comportamiento de los individuos cuando interactúan entre ellos mediante una serie de reglas bien determinadas. El llamado Dilema del Prisionero es uno de los ejemplos más comunes de este tipo de problema, que tiene cientos de aplicaciones en la vida diaria. En el fondo, plantea la cuestión de si es más “rentable” ser altruista o, por el contrario, aquellos que son altamente egoístas son los que finalmente salen ganando. Los resultados son sorprendentes.

A pesar de lo que pueda indicar su nombre, la denominada Teoría de Juegos es una cosa seria. Se trata de una rama de las matemáticas encargada de lidiar con la forma en que se puede ganar en aquellos juegos que tiene reglas bien definidas. Desde el punto de vista de esta teoría, un juego consiste en un conjunto de jugadores, un conjunto de movimientos (o estrategias) disponible para esos jugadores y una serie de recompensas para cada combinación de estrategias. Muchas situaciones del mundo real pueden modelarse como si se tratase de un juego y ser resueltas -o al menos analizadas- mediante el uso de la Teoría de Juegos. Eso es especialmente interesante en campos como la biología o la economía, ya que la correcta aplicación de esta herramienta permite obtener resultados óptimos incluso cuando los costes y beneficios de cada opción no están fijados de antemano sino que dependen de las elecciones de los otros individuos.

Un ejemplo muy conocido de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real es el dilema del prisionero. Este “juego” fue  popularizado por el matemático Albert W. Tucker. A pesar de lo sencillo de su planteo, este dilema tiene implicaciones que resultan útiles para comprender la naturaleza de la cooperación humana. La enunciación clásica del dilema del prisionero es la siguiente:

La policía acaba de arrestar a dos sospechosos de un crimen. No se han encontrado pruebas suficientes para condenarlos y, tras haberlos separado, un oficial de policía los visita a cada uno y les ofrece el mismo trato. Si uno confiesa y su cómplice no, el cómplice será condenado a diez años de prisión mientras que el delator será liberado. Por el contrario, si calla y el cómplice confiesa, el primero recibirá esa pena y el cómplice será quien salga libre. Pero si ambos confiesan el crimen, cada uno recibirá una condena menor, de sólo seis años. Si ninguno confiesa, ante la falta de pruebas, no pasarán más de seis meses en la cárcel acusados de un cargo menor.

El tiempo que pasarán en la cárcel depende básicamente de lo solidarios o egoístas que sean los dos delincuentes. Cada prisionero tiene dos opciones: cooperar con su cómplice permaneciendo en silencio y quedar ambos libres en seis meses, o traicionarlo confesando para quedar libre de inmediato mientras su “socio” pasa 10 años entre rejas. Lo que hace interesante el dilema es el hecho de que el resultado de cada elección depende de la elección del cómplice, y cada uno desconoce qué ha elegido hacer el otro, ya que están separados.

Comencemos suponiendo que ambos son completamente egoístas y tienen como única meta reducir el tiempo que pasarán detenidos. Cada prisionero podría suponer que el otro ha elegido cooperar con el manteniendo la boca cerrada para salir en seis meses. Esto hace que la tentación de ser el primero en confesar sea enorme, ya que significaría su libertad inmediata y una condena de 10 años para su cómplice. Por supuesto, el otro detenido seguramente está razonando de la misma manera, buscando la forma de salir en libertad de inmediato. Si ambos son egoístas, la posibilidad de que ambos confiesen y pasen 6 años entre rejas es muy grande.

Por el contrario, el interés por el bien común puede dar mucho mejor resultado. Dejando de lado que dos delincuentes difícilmente tengan alguna clase de interés en cosas como el altruismo, lo cierto es que la confianza en el comportamiento del otro puede ser la que obtenga el mejor resultado. Desde el punto de vista de la fría lógica, confesar es la estrategia dominante para ambos jugadores. Sea cual sea la elección del otro jugador, pueden reducir siempre su sentencia confesando. Pero por otra parte, esto conduce a un resultado regular en el caso de que ambos tomen esa decisión. Este es el nudo del dilema. El resultado de las interacciones individuales produce un resultado que no es óptimo, aunque existe una situación tal en que las perspectivas de uno de los detenidos puede mejorar  sin que esto implique un empeoramiento para el otro. De hecho, si ambos callan reciben una pena total de un año (seis meses cada uno), mientras que en los demás casos recibirían 10 (si confiesa uno solo y sale libre) o 12 (seis años cada uno en caso de que ambos confesasen de inmediato).

Puede parecer que el Dilema del prisionero no es más que un pasatiempo matemático. Sin embargo, existen muchos ejemplos de interacciones humanas (y naturales) que pueden ser analizadas de la misma manera. Esto hace que el dilema en cuestión sea de interés para la economía, las ciencias políticas, la sociología, las ciencias biológicas y casi cualquier campo del conocimiento que puedas imaginar. Por ejemplo, dentro del campo de las relaciones internacionales, el escenario del dilema del prisionero sirve para ilustrar la situación en que se encuentran dos estados involucrados en una carrera armamentística. Ambos países tienen dos opciones: o incrementar el gasto militar, o firmar un acuerdo para reducir su armamento. Como ninguno de los dos puede estar completamente seguro de que el otro acatará el acuerdo, ambos terminan decidiendo una expansión militar. La ironía está en que ambos estados parecen actuar racionalmente, pero el resultado es completamente irracional. La humanidad en conjunto se beneficiaría de un comportamiento altruista, pero el egoísmo suele ganar la partida, embarcándonos en delirios como la Destrucción Mutua Asegurada.

Tras haber planteado el dilema del prisionero podemos extraer algunas conclusiones. En el terreno de la ética, por ejemplo, una de las preguntas más antiguas es ¿por qué hacer el bien?. Esto ya preocupaba a Platón, y reaparece a lo largo de la historia bajo las más diversas formas. El dilema del prisionero nos ayuda a encontrar una respuesta sencilla y práctica: cuando todos buscamos el interés del grupo, obtenemos más beneficios que cuando se busca el mejor resultado individualmente. En pocas palabras, la mejor forma de conseguir lo mejor para cada uno es hacer lo que resulta mejor para todos. La moral, parece, es un buen negocio. ¿Interesante, no?


Fuente: http://www.neoteo.com/el-dilema-del-prisionero.neo

Calculan 2.5 billones de decimales de Pi (π)

Japón tiene la costumbre de llamar la atención por cosas positivas y, en este caso, no es la excepción. Unos matemáticos en la Univesideda de Tsukuba, en Japón, utilizaron una super computadora con un poder de procesamiento de 95 teraflops, para romper el récord del cálculo de Pi. El equipo del profesor Daisuke Takahashi llegó a calcular Pi hasta 2.5 billones de decimales y todo el cálculo tomó cerca de 73 horas y 36 minutos. ¿Alguien puede hacerlo antes?

Aunque en muchos colegios enseñan a los muchachines que Pi es igual a 3.14, nada puede estar más lejos de la verdad, porque Pi es mucho más que un número con dos decimales y recientemente fue confirmado, gracias a unos matemáticos de la Universidad de Tsukuba en Japón. Hasta ahora, el récord del cálculo mayor de Pi había sucedido en 2002 y habían tardado cerca de 600 horas en llegar a 1,2 billones de posiciones decimales. Ese récord, ahora fue roto por una super computadora japonesa llamada T2K Tsukuba System.

Para este nuevo cálculo, la computadora se tomó cerca de 73 horas y 36 minutos para llegar a 2.5 billones de decimales, es decir, el doble de lo que se había calculado antes en 2002. El proyecto fue llevado a cabo por el profesor Daisuke Takahashi de la Universidad de Tsukuba y necesitaron de una supercomputadora con 640 computadoras de última generación trabajando juntas, que alcanzaron una velocidad de procesamiento de 95 teraflops.

Gracias a este poder de procesamiento, Pi fue calculado hasta 2,576,980,377,524 posiciones decimales, lo cual... es mucho. El objetivo principal de este estudio era probar la velocidad y fiabilidad de sus supercomputadoras y, al parecer, fue todo un éxito. Ahora, los integrantes enviaron su estudio al Libro Guinness de los Records Mundiales para que sea reconocido oficialmente.


Fuente: www.neoteo.com